Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(a+2b\ge3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{3a^2+a^2b+\dfrac{9}{2}ab^2+\left(8+a\right)b^3}{ab}\)
cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\)
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca = 3abc. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức T = \(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}+\sqrt{\dfrac{b}{3b^2c^2+abc}}+\sqrt{\dfrac{c}{3a^2b^2+abc}}\)
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)
Lúc mình đọc lời giải kia của bạn thì mình thấy cũng hợp lí nhưng mà Cô-si hơi nhầm tí ở chỗ \(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\) ấy.
Nên là mình cũng dựa trên ý tưởng của bạn nhưng sửa \(\dfrac{1}{2}\) thành 2 thì mới đúng được
Không thì bạn cứ kiểm tra bằng cách thay điểm rơi \(a=b=c=1\) vào T thì nó ra \(\dfrac{3}{2}\) ngay chứ không ra 6 đâu.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}.\)
\(P=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=2\left[\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right]+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\)
\(\ge2.\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{18}{1}+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge18+5.\dfrac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=18+15=33\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3.
Vậy GTNN của P là 33.
Cho biểu thức P =\(\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2a+2c-b\right)^2\)
1) Chứng minh P =\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2)Nếu a,b,c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = -1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{9}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=2(\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
\geq 2.\frac{9}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=\frac{18}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=18+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2(ab+bc+ac)\leq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\geq 18+\frac{3}{2}=\frac{39}{2}$
Vậậy $P_{\min}=\frac{39}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(P=\dfrac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
áp dụng bất đẳng thức phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)<=>(a-b)2≥0 (luôn đúng)
Ta có P≥\(\dfrac{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=(3+\(\sqrt{2}\))2
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab ≠ 0, a ≠ 1, b ≠ 1 và a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức
\(P=\dfrac{a}{b^3-1}-\dfrac{b}{a^3-1}+\dfrac{2\left(a-b\right)}{a^2b^2+3}\)
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab ≠ 0, a ≠ 1, b ≠ 1 và a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức
\(P=\dfrac{a}{b^3-1}-\dfrac{b}{a^3-1}+\dfrac{2\left(a-b\right)}{a^2b^2+3}\)
Lời giải:
\(P=\frac{a^4-a-b^4+b}{(b^3-1)(a^3-1)}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{(a^4-b^4)-(a-b)}{a^3b^3-(a^3+b^3)+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{(a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-1]}{a^3b^3-[(a+b)^3-3ab(a+b)]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{(a-b)[(a^2+b^2)-(a+b)^2]}{a^3b^3-[1-3ab]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{-2ab(a-b)}{a^3b^3+3ab}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{-2(a-b)}{a^2b^2+3}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=0\)
Lời giải:
\(P=\frac{a^4-a-b^4+b}{(b^3-1)(a^3-1)}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{(a^4-b^4)-(a-b)}{a^3b^3-(a^3+b^3)+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{(a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-1]}{a^3b^3-[(a+b)^3-3ab(a+b)]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{(a-b)[(a^2+b^2)-(a+b)^2]}{a^3b^3-[1-3ab]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{-2ab(a-b)}{a^3b^3+3ab}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)
\(=\frac{-2(a-b)}{a^2b^2+3}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=0\)